trudyniisiТруды НИИСИSRISA Proceedings2225-73493033-6422НИЦ «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ» - НИИСИ10.25682/NIISI.2025.2.0003trudyniisi-74Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ, СТАТИСТИКАSYSTEM ANALYSIS, CONTROL, INFORMATION PROCESSING, STATISTICSК вопросу о количестве многочленов ƒ девятой степени, задающих гиперэллиптическое поле с фундаментальной S-единицей степени 13 и периодическим разложением корня из ƒOn the Question of the Number of Polynomials ƒ of Degree 9 Defining a Hyperelliptic Field with a Fundamental S-unit of Degree 13 and a Periodic Expansion of the square root of ƒШтейниковЮ. Н.ShteinikovY. N.yriisht@yandex.ruНИЦ «Курчатовский институт» - НИИСИРоссия2025091220251522226Copyright © Штейников Ю.Н., 20252025Штейников Ю.Н.Shteinikov Y.N.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.t-niisi.ru/jour/article/view/74

Статья освещает некоторые вопросы о количестве многочленов с коэффициентами из поля алгебраических чисел k таких, что deg f =9, при котором соответствующее гиперэллиптическое поле k(x)(√ƒ) содержит фундаментальную S-единицу степени 13 и для которых разложение √ƒ в функциональную непрерывную дробь в поле k((x)) периодично. В этой статье доказано, что для любого поля k, являющегося полем алгебраических чисел, таких многочленов лишь конечное число и мы получаем универсальную оценку на это количество, не зависящее от поля k. Более того мы попутно доказываем, что множество таких многочленов непусто для некоторого такого поля k, являющегося полем определения набора коэффициентов f. При доказательстве основных результатов существенную роль играют символьные вычисления с базисами Гребнера.

This article is devoted to some questions about the number of polynomials with coefficients in an algebraic number field k such that deg f = 9, for which the corresponding hyperelliptic field k(x)(√ƒ) has a fundamental S-unit of degree 13 and for which the continued fraction expansion of √ƒ is periodic. It is proved that for any algebraic number field k, there are only finitely many such polynomials, and we obtain a universal estimate for this number, independent of the field k. Moreover, we prove that for , the set of such polynomials is nonempty for some field k that is the definition field of the coefficient set of polynomial f. Symbolic computations with Gröbner bases play a significant role in the proof of the main results.

гиперэллиптическое полефундаментальная S-единицаhyperelliptic fieldfundamental S-unitReferencesПлатонов В.П., Петрунин М.М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Труды МИАН. 2018. Т. 302, С. 354–376.Платонов В.П., Петрунин М.М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Труды МИАН. 2018. Т. 302, С. 354–376.Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел// УМН. 2014. Т. 69, №1(415), С.3–38.Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел// УМН. 2014. Т. 69, №1(415), С.3–38.Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях// Математический сборник. 2018, Т.209, № 4. С.54–94.Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях// Математический сборник. 2018, Т.209, № 4. С.54–94.Платонов В.П., Петрунин М.М. О конечности числа периодических разложений в непрерывную дробь √ƒ для кубических многочленов над полями алгебраических чисел // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т.495, № 1, С.48–54.Платонов В.П., Петрунин М.М. О конечности числа периодических разложений в непрерывную дробь √ƒ для кубических многочленов над полями алгебраических чисел // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т.495, № 1, С.48–54.В. П. Платонов, В. С. Жгун, М. М. Петрунин, “О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь √ƒ для кубических многочленов f над полями алгебраических чисел”, Матем. сб., 213:3 (2022), 139–170.В. П. Платонов, В. С. Жгун, М. М. Петрунин, “О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь √ƒ для кубических многочленов f над полями алгебраических чисел”, Матем. сб., 213:3 (2022), 139–170.Kubert D.S. Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math. Soc. 1976. Vol. 33, № 2, P. 193–237.Kubert D.S. Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math. Soc. 1976. Vol. 33, № 2, P. 193–237.Sutherland A. Constructing elliptic curves over finite fields with prescribed torsion// Mathematics of Computation. 2012. Vol. 81, № 278, P. 1131–1147.Sutherland A. Constructing elliptic curves over finite fields with prescribed torsion// Mathematics of Computation. 2012. Vol. 81, № 278, P. 1131–1147.Платонов В.П., Петрунин М.М. Новые результаты о проблеме периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей // Труды МИАН. 2023, № 320 , с. 278–286.Платонов В.П., Петрунин М.М. Новые результаты о проблеме периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей // Труды МИАН. 2023, № 320 , с. 278–286.Schmidt W.M. On continued fractions and diophantine approximation in power series fields// Acta arithmetica. 2000. Vol. 95, №2. P.139–166.Schmidt W.M. On continued fractions and diophantine approximation in power series fields// Acta arithmetica. 2000. Vol. 95, №2. P.139–166.В. П. Платонов, М. М. Петрунин, В. С. Жгун, Ю. Н. Штейников, “О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением √ƒ”, Докл. РАН, 483:6 (2018), 609–613.В. П. Платонов, М. М. Петрунин, В. С. Жгун, Ю. Н. Штейников, “О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением √ƒ”, Докл. РАН, 483:6 (2018), 609–613.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.