Москва
Оценивая число решений полиномиальных систем уравнений в терминах многогранников Ньютона, в 1974 году автор доказал, что коразмерность идеала (g1, g2, . . . , gd), порожденного в групповой алгебре K[Zd] над полем K характеристики 0 многочленами Лорана общего положения, имеющими один и тот же многогранник Ньютона Γ, равна d! × V olume(Γ). Предположив, что многогранник Ньютона является симплициальным и сверх-удобным (то есть содержащим некоторую окрестность начала координат), автор передоказывает и усиливает результат 1974 года, явно указывая множество Bsh мономов , классы эквивалентности которых образуют базис фактор-алгебры K[Zd]/(g1, g2, . . . , gd). Доказывается, что мощность этого множества равна d!×V olume(Γ). По известной теореме коммутативной алгебры из этого следует, что в случае алгебраически замкнутого поля K характеристики 0, число решений системы уравнений g1 = g2 = . . . = gd = 0 с учетом кратностей будет равно d! × V olume(Γ). Множество Bsh обладает аналогом свойства Дэна-Соммервилля и естественно возникает в процессе вычисления ряда Пуанкаре линейного пространства многочленов Лорана, снабженного "ломаной" градуировкой Арнольда-Ньютона. Индуктивное построение множества Bsh опирается на конструкцию шеллинга sh, существование которого для любого выпуклого многогранника доказали в 1971 году Брюгеcсер и Мани. Используя структуру Bsh, мы доказываем, что ассоциированная градуированная K-алгебра grΓ(K[Zd]), построенная по фильтрации Арнольда-Ньютона K-алгебры K[Zd], обладает свойством коэн-маколеевости. Наше доказательство коэн-маколеевости является обобщением доказательства Б. Кайнда и П. Клейншмитта 1979 года о коэн-маколеевости колец Стенли-Рейснера (Stanley–Reisner rings) симплициальных комплексов, допускающих шеллинг. Используя коэн-маколеевость grΓ(K[Zd]), мы доказываем, что для полиномов Лорана общего положения (g1, g2, . . . , gd), имеющих один и тот же многогранник Ньютона Γ, множество Bsh является мономиальным базисом фактор-алгебры K[Zd]/(g1, g2, . . . , gd). Результаты статьи легко переносятся на обычные многочлены и формальные ряды, чему будет посвящена отдельная публикация.
Estimating the number of solutions of polynomial systems of equations in terms of Newton polytopes, in 1974 the author proved that the codimension of the ideal (g1, g2, . . . , gd) generated in the group algebra K[Zd] over the field K of characteristic 0 by Laurent polynomials of general position having the same Newton polytope Γ is equal to d! × V olume(Γ). Assuming that the Newton polyhedron is simplicial and super-convenient (i.e. containing some neighborhood of the origin), the author re-proves and strengthens the 1974 result by explicitly indicating the set Bsh of monomials whose equivalence classes form a basis for the quotient algebra K[Zd]/(g1, g2, . . . , gd). It is proved that the cardinality of this set is equal to d! × V olume(Γ). By a well-known theorem of commutative algebra, it follows that in the case of an algebraically closed field K of characteristic 0, the number of solutions of the system of equations g1 = g2 = . . . = gd = 0, taking into account multiplicities, will be equal to d! × V olume(Γ). The set Bsh has an analogue of the Dehn-Sommerville property and arises naturally in the process of calculating the Poincar´e series of the linear space of Laurent polynomials equipped with the Arnold- Newton grading. The inductive construction of the set Bsh relies on the construction of the shelling sh whose existence for any convex polyhedron was proved in 1971 by Bruggerser and Money. Using the structure of Bsh, we prove that the associated graded K-algebra grΓ(K[Zd]) constructed from the Arnold-Newton piecewise linear filtration of the K-algebra K[Zd] has the Cohen-Macaulay property. Our proof of the Cohen-Macaulay property is a generalization of B. Kind and P. Kleinschmitt’s 1979 proof of the Cohen-Macaulay property of the Stanley-Reisner rings of simplicial complexes admitting shelling. Using the Cohen-Macaulay property of grΓ(K[Zd]), we prove that for generic Laurent polynomials (g1, g2, . . . , gd) that have the same Newton polytope Γ, the set Bsh is a monomial basis of the quotient algebra K[Zd]/(g1, g2, . . . , gd). The results of the paper can easily be extended to ordinary polynomials and formal series, which will be the subject of a separate publication.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.