Ломаные фильтрации Арнольда, аналоги колец Стенли-Рейснера и симплициальные многогранники Ньютона

Оценивая число решений полиномиальных систем уравнений в терминах многогранников Ньютона, в 1974 году автор доказал, что коразмерность идеала (g1, g2, . . . , gd), порожденного в групповой алгебре K[Zd] над полем K характеристики 0 многочленами Лорана общего положения, имеющими один и тот же многогранник Ньютона Γ, равна d! × V olume(Γ). Предположив, что многогранник Ньютона является симплициальным и сверх-удобным (то есть содержащим некоторую окрестность начала координат), автор передоказывает и усиливает результат 1974 года, явно указывая множество Bsh мономов , классы эквивалентности которых образуют базис фактор-алгебры K[Zd]/(g1, g2, . . . , gd). Доказывается, что мощность этого множества равна d!×V olume(Γ). По известной теореме коммутативной алгебры из этого следует, что в случае алгебраически замкнутого поля K характеристики 0, число решений системы уравнений g1 = g2 = . . . = gd = 0 с учетом кратностей будет равно d! × V olume(Γ). Множество Bsh обладает аналогом свойства Дэна-Соммервилля и естественно возникает в процессе вычисления ряда Пуанкаре линейного пространства многочленов Лорана, снабженного "ломаной" градуировкой Арнольда-Ньютона. Индуктивное построение множества Bsh опирается на конструкцию шеллинга sh, существование которого для любого выпуклого многогранника доказали в 1971 году Брюгеcсер и Мани. Используя структуру Bsh, мы доказываем, что ассоциированная градуированная K-алгебра grΓ(K[Zd]), построенная по фильтрации Арнольда-Ньютона K-алгебры K[Zd], обладает свойством коэн-маколеевости. Наше доказательство коэн-маколеевости является обобщением доказательства Б. Кайнда и П. Клейншмитта 1979 года о коэн-маколеевости колец Стенли-Рейснера (Stanley–Reisner rings) симплициальных комплексов, допускающих шеллинг. Используя коэн-маколеевость grΓ(K[Zd]), мы доказываем, что для полиномов Лорана общего положения (g1, g2, . . . , gd), имеющих один и тот же многогранник Ньютона Γ, множество Bsh является мономиальным базисом фактор-алгебры K[Zd]/(g1, g2, . . . , gd). Результаты статьи легко переносятся на обычные многочлены и формальные ряды, чему будет посвящена отдельная публикация.

1. В. И. Арнольд, Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критических точек, УМН, 29:2(176) (1974), с. 11–49; Russian Math. Surveys, 29:2 (1974), pp.10–50 https://www.mathnet.ru/links/803374d14c3fdbe7d67529c757f7fba3/rm4352.pdf

2. А.Г. Кушниренко, Многогранник Ньютона и числа Милнора, Функц. анализ, том 9, вып. 1 (1975), с. 74-75 https://www.mathnet.ru/links/329399444a7b795f6fd30180e0ff2644/faa2223.pdf, DOI: https://doi.org/10.1007/BF01078188

3. А.Г. Кушниренко, Многогранники Ньютона и теорема Безу, Функц. анализ, том 10, вып. 3 (1976), с. 82-83 https://www.mathnet.ru/links/5744b3b4585c5707364a9649a3845d9a/faa2179.pdf, DOI:https://doi.org/10.1007/BF01075534

4. A.G. Kouchnirenko, Poly`edres de Newton et nombres de Milnor, Inventiones mathematicae 32 (1976) pp. 1-32 https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF01389769.pdf

5. M.Hochster, Rings Invariants of Tori, Cohen-Macaulay Rings Generated by Monomials, and Polytopes, Annals of Mathematics Second Series, Vol. 96, No. 2 (Sep., 1972), pp. 318-337, DOI: https://doi.org/10.2307/1970791

6. M.Hochster, Cohen-Macaulay Varieties, Geometric Complexes, and Combinatorics, http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/comb2.pdf

7. Merle, M.. Les anneaux coniques sont de Cohen-Macaulay, d’apr`es A.G. Kouchnirenko. S´eminaire sur les singularit´es des surfaces (1976-1977): 1-7. http://eudml.org/doc/114151

8. Anatoly Kushnirenko, Arnold’s Piecewise Linear Filtrations, Analogues of Stanley–Reisner Rings and Simplicial Newton Polyhedra, Mathematics 2022, 10(23), 4445; https://doi.org/10.3390/math10234445

9. Э. Б. Винберг, М. Джибладзе, А. Г. Элашвили, Алгебры модулей некоторых неполуквазиоднородных особенностей, Функц. анализ и его прил., 51:2 (2017), 10–24; Funct. Anal. Appl., 51:2 (2017), 86–97 https://doi.org/10.4213/faa3450 https://doi.org/10.1007/s10688-017-0171-6

10. B. Kind and P. Kleinschmidt, Sch¨albare Cohen–Macaulay Komplexe und ihre Parametrisierung, Math. Z. 167(1979), pp. 173-179, https://eudml.org/doc/172845

11. Richard P. Stanley, A glimpse of combinatorial commutative algebra, www-math.mit.edu/~rstan/algcomb/chapter13.pdf

12. Richard P. Stanley, Combinatorics and commutative algebra. Birkh¨auser, 1983

13. H. Bruggesser and P. Mani, Shellable decompositions of cells and spheres, Math. Scand., 29 (1971), pp. 197-205, https://www.jstor.org/stable/24491028

14. Jean Gallier. Notes on Convex Sets, Polytopes, PolyhedraCombinatorial Topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations. [Research Report], RR-6379, INRIA. 2007, pp.179, https://hal.inria.fr/inria-00193831v3

15. Arnold, V. I., Arnold’s problems, Springer-Verlag, Berlin; PHASIS, Moscow (2004), http://www.vixri.ru/d2/Arnold%20V%20_Arnolds%20Problems%20,%20653str.pdf

16. Brzostowski, S., Krasi´nski, T., Walewska, J., Arnold’s problem on monotonicity of the Newton number for surface singularities. J. Math. Soc. Japan 71:4 (2019), 1257–1268, arXiv:1705.00323

17. Fedor Selyanin, A non-negative analogue of the Kouchnirenko formula (2020), https://arxiv.org/pdf/2006.11795v1.pdf

18. Fedor Selyanin, Arnold’s monotonicity problem, https://arxiv.org/pdf/2006.11795v3.pdf

19. Stapledon, A. Formulas for monodromy. Res Math Sci 4, 8 (2017). https://doi.org/10.1186/s40687-017-0097-x

20. Maximiliano Leyton- ´Alvarez, Hussein Mourtada, Mark Spivak, Newton non-degenerate μ- constant deformations admit simultaneous embedded resolutions, Compositio Mathematica, Volume 158 , Issue 6 , June 2022 , pp. 1268 – 1297 DOI: https://doi.org/10.1112/S0010437X22007576

21. Maximiliano Leyton- ´Alvarez, Hussein Mourtada, Mark Spivak, Newton non-degenerate μ-constant deformations admit simultaneous embedded resolutions, v5, arXiv:2001.10316v5, 2024, https://arxiv.org/abs/2001.10316v5

22. Alexander Barvinok, Lattice Points, Polyhedra, and Compexity. Lecture 3, Theorem 1, and Theorem 2, in Geometric Combinatorics / Ezra Miller, Victor Reiner, Bernd Sturmfels, editors. – IAS/ParkCity mathematics series, ISSN 1079-5634; v. 13, American Mathematical Soc., 2007. http://www.math.lsa.umich.edu/ barvinok/lectures.pdf

23. G¨unter M. Ziegler, Lectures on Polytopes (in Graduate Texts in Mathematics, Vol 152), Springer- Verlag New York, 1995.

24. Douai, A., Sabbah, C.: Gauss–Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures I. Ann. Inst. Fourier 53(4), 1055–1116 (2003), https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0211352

25. Douai, A.: A note on the Newton spectrum of a polynomial. arXiv:1810.03901, https://doi.org/10.48550/arXiv.1810.03901

26. Douai, A. Ehrhart polynomials of polytopes and spectrum at infinity of Laurent polynomials. J Algebr Comb 54, 719–732 (2021). https://doi.org/10.1007/s10801-020-00984-x

27. A. Stapledon, Weighted Ehrhart theory and orbifold cohomology, Advances in Mathematics, Volume 219, Issue 1,10 September 2008, Pages 63-88, DOI: https://doi.org/10.1016/j.aim.2008.04.010

28. Stanley, R.P., Combinatorics and Commutative Algebra, 2nd ed.; Progress in Mathematics, 41; Birkh¨auser Boston, Inc.: Boston, MA, USA, 1996; ISBN 0-8176-3836-9.

29. Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру. "Мир", М.- 1972. https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/AtjaMakdonald1972ru.pdf M. F. Atiyah and I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass. (1969). xx IX+128 pp. DOI: https://doi.org/10.1017/S0008439500031039

30. M. Hochster, Cohen-Macoley rings, http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W14/CM.pdf

31. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, М.: Мир, 1971, 707 стр. https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Burbaki1971ru.pdf N. Bourbaki, Commutative Algebra, Chapters 1-7, Springer-Verlag, New York, 1985.

32. A. Ogus, Commutative Algebra, https://math.berkeley.edu/~ogus/Math_250B-2016/Notes/koszul.pdf