К вопросу о количестве многочленов ƒ девятой степени, задающих гиперэллиптическое поле с фундаментальной S-единицей степени 13 и периодическим разложением корня из ƒ
https://doi.org/10.25682/NIISI.2025.2.0003
Аннотация
Статья освещает некоторые вопросы о количестве многочленов с коэффициентами из поля алгебраических чисел k таких, что deg f =9, при котором соответствующее гиперэллиптическое поле k(x)(√ƒ) содержит фундаментальную S-единицу степени 13 и для которых разложение √ƒ в функциональную непрерывную дробь в поле k((x)) периодично. В этой статье доказано, что для любого поля k, являющегося полем алгебраических чисел, таких многочленов лишь конечное число и мы получаем универсальную оценку на это количество, не зависящее от поля k. Более того мы попутно доказываем, что множество таких многочленов непусто для некоторого такого поля k, являющегося полем определения набора коэффициентов f. При доказательстве основных результатов существенную роль играют символьные вычисления с базисами Гребнера.
Список литературы
1. Платонов В.П., Петрунин М.М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Труды МИАН. 2018. Т. 302, С. 354–376.
2. Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел// УМН. 2014. Т. 69, №1(415), С.3–38.
3. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях// Математический сборник. 2018, Т.209, № 4. С.54–94.
4. Платонов В.П., Петрунин М.М. О конечности числа периодических разложений в непрерывную дробь √ƒ для кубических многочленов над полями алгебраических чисел // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т.495, № 1, С.48–54.
5. В. П. Платонов, В. С. Жгун, М. М. Петрунин, “О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь √ƒ для кубических многочленов f над полями алгебраических чисел”, Матем. сб., 213:3 (2022), 139–170.
6. Kubert D.S. Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math. Soc. 1976. Vol. 33, № 2, P. 193–237.
7. Sutherland A. Constructing elliptic curves over finite fields with prescribed torsion// Mathematics of Computation. 2012. Vol. 81, № 278, P. 1131–1147.
8. Платонов В.П., Петрунин М.М. Новые результаты о проблеме периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей // Труды МИАН. 2023, № 320 , с. 278–286.
9. Schmidt W.M. On continued fractions and diophantine approximation in power series fields// Acta arithmetica. 2000. Vol. 95, №2. P.139–166.
10. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, В. С. Жгун, Ю. Н. Штейников, “О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением √ƒ”, Докл. РАН, 483:6 (2018), 609–613.
Рецензия
Для цитирования:
Штейников Ю.Н. К вопросу о количестве многочленов ƒ девятой степени, задающих гиперэллиптическое поле с фундаментальной S-единицей степени 13 и периодическим разложением корня из ƒ. Труды НИИСИ. 2025;15(2):22-26. https://doi.org/10.25682/NIISI.2025.2.0003
For citation:
Shteinikov Y.N. On the Question of the Number of Polynomials ƒ of Degree 9 Defining a Hyperelliptic Field with a Fundamental S-unit of Degree 13 and a Periodic Expansion of the square root of ƒ. SRISA Proceedings. 2025;15(2):22-26. (In Russ.) https://doi.org/10.25682/NIISI.2025.2.0003
Просмотров:
53
Послать статью по эл. почте 