On the Question of the Number of Polynomials ƒ of Degree 9 Defining a Hyperelliptic Field with a Fundamental S-unit of Degree 13 and a Periodic Expansion of the square root of ƒ
https://doi.org/10.25682/NIISI.2025.2.0003
Abstract
This article is devoted to some questions about the number of polynomials with coefficients in an algebraic number field k such that deg f = 9, for which the corresponding hyperelliptic field k(x)(√ƒ) has a fundamental S-unit of degree 13 and for which the continued fraction expansion of √ƒ is periodic. It is proved that for any algebraic number field k, there are only finitely many such polynomials, and we obtain a universal estimate for this number, independent of the field k. Moreover, we prove that for , the set of such polynomials is nonempty for some field k that is the definition field of the coefficient set of polynomial f. Symbolic computations with Gröbner bases play a significant role in the proof of the main results.
References
1. Платонов В.П., Петрунин М.М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Труды МИАН. 2018. Т. 302, С. 354–376.
2. Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел// УМН. 2014. Т. 69, №1(415), С.3–38.
3. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях// Математический сборник. 2018, Т.209, № 4. С.54–94.
4. Платонов В.П., Петрунин М.М. О конечности числа периодических разложений в непрерывную дробь √ƒ для кубических многочленов над полями алгебраических чисел // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т.495, № 1, С.48–54.
5. В. П. Платонов, В. С. Жгун, М. М. Петрунин, “О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь √ƒ для кубических многочленов f над полями алгебраических чисел”, Матем. сб., 213:3 (2022), 139–170.
6. Kubert D.S. Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math. Soc. 1976. Vol. 33, № 2, P. 193–237.
7. Sutherland A. Constructing elliptic curves over finite fields with prescribed torsion// Mathematics of Computation. 2012. Vol. 81, № 278, P. 1131–1147.
8. Платонов В.П., Петрунин М.М. Новые результаты о проблеме периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей // Труды МИАН. 2023, № 320 , с. 278–286.
9. Schmidt W.M. On continued fractions and diophantine approximation in power series fields// Acta arithmetica. 2000. Vol. 95, №2. P.139–166.
10. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, В. С. Жгун, Ю. Н. Штейников, “О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением √ƒ”, Докл. РАН, 483:6 (2018), 609–613.
Review
For citations:
Shteinikov Y.N. On the Question of the Number of Polynomials ƒ of Degree 9 Defining a Hyperelliptic Field with a Fundamental S-unit of Degree 13 and a Periodic Expansion of the square root of ƒ. SRISA Proceedings. 2025;15(2):22-26. (In Russ.) https://doi.org/10.25682/NIISI.2025.2.0003
Views:
57
Email this article 